МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 531 (6)4-532.5+539.3 ББК 22.21 В 46
Печатается по решению Ученого Совета Московского университета
Рецензенты: кафедра теоретической механики МЭИ, профессор В. Г. ДЕМИН

В 46
Вильке Владимир Георгиевич
Теоретическая механика: Учебник, 3-е изд., испр. и доп.
— СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 304 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература, «Классический университетский учебник».).
ISBN 5-8114-0520-0

В учебнике удачно соединены классическая механика и механика сплошных сред, изложение которых ведется на базе современного математического аппарата, позволяющего в рамках единой аксиоматики описать системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Книгу отличают математическая строгость, краткость и единый подход к различным моделям классической механики и механики сплошных сред. Значительное место отводится лагранжевой и гамильтоновой механике, вариационным принципам, играющим основную роль при построении динамических моделей деформируемого твердого тела, жидкости и газа. В книге реализован ряд новых методических идей. В третье издание добавлены три приложения, в которых рассматриваются различные задачи теоретической механики.
Для студентов механико-математических специальностей университетов, а также лиц, желающих изучить основные модели классической механики и механики сплошных сред.
УДК 531 (б)+532.5+539.3 ББК 22.21
© Издательство «Лань», 2003
© В. Г. Вильке, 2003
© МГУ им. М. В. Ломоносова, художественное оформление, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Сокращения и обозначения 10
Предисловие 11
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 13
§ 1.1. Механические модели окружающего мира. Методология механики и ее влияние на научно-технический прогресс 13
§ 1.2. Основные этапы становления механики как точной науки. Роль отечественных ученых в развитии механики 15
Глава 2. КИНЕМАТИКА 17
§ 2.1. Траектория, закон движения, скорость и ускорение точки. Разложение скорости и ускорения по осям естественного трехгранника 18
§ 2.2. Криволинейные координаты. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах 19
§ 2.3. Сложное движение материальной точки. Лемма о производной ортогонального оператора. Теорема сложения скоростей 22
§ 2.4, Распределение скоростей при произвольном движении твердого тела. Угловая скорость твердого тела. Простейшие движения твердого тела: поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси 25
§ 2.5, Классификация мгновенных движений твердого тела. Уравнение винтовой оси 27
§ 2.6. Непрерывное движение твердого тела. Аксоиды 28
§ 2.7. Частные случаи движения тела: плоскопараллельное движение и вращение вокруг неподвижной точки 29
§ 2.8. Сложное движение твердого тела. Пара вращений 32
§ 2.9. Теорема сложения вращений. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера 34
§ 2.10. Ускорения точек твердого тела. Теорема сложения ускорений для материальной точки 36
Глава 3. ДИНАМИКА ТОЧКИ 39
§ 3.1. Основные определения и законы динамики 39
§ 3.2. Уравнения движения материальной точки в декартовой и криволинейной системах координат, в проекциях на оси естественного трехгранника 43
§ 3.3. Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения. Первые интегралы 45
§ 3.4. Работа силы. Потенциальные силовые поля. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения энергии 46
§ 3.5. Движение точки по прямой в сопротивляющейся среде. Метод фазовой плоскости 50
§ 3.6. Движение материальной точки в центральном поле сил. Формулы Бине 55
§ 3.7. Движение планет. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера 56
§ 3.8. Движение планеты в центральном ньютоновском поле сил. Уравнение Кеплера. Связь между истинной и эксцентрической аномалиями 58
§ 3.9. Движение несвободной материальной точки. Голономные связи. Конфигурационное пространство. Принцип освобождаемости от связей 62
§ 3.10. Уравнения движения точки по поверхности и по кривой. Аксиома идеальных связей. Уравнения Лагранжа первого рода с неопределенными множителями 64
§ 3.11. Уравнения движения точки по поверхности и по кривой в независимых координатах. Определение реакций связей 65
§ 3.12. Теорема об изменении кинетической энергии при движении несвободной материальной точки. Закон сохранения энергии. Движение по инерции 66
§ 3.13. Математический маятник 67
§ 3.14. Уравнения движения точки в неинерциальной системе координат. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения энергии 71
§ 3.15. Движение точки относительно Земли: относительное равновесие, падение точки в пустоте. 74
§ 3.16. Маятник Фуко 77
Глава 4. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ N ТОЧЕК 80
§ 4.1. Система свободных материальных точек и уравнения ее движения. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс 80
§ 4.2. Момент количеств движения относительно неподвижной точки и центра масс. Теоремы об их изменениях 83
§ 4.3. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении и в движении относительно центра масс. Теоремы об их изменении 86
§ 4.4. Задача двух тел. Уточнение третьего закона Кеплера 88
§ 4.5. Задача N тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. Лемма Лагранжа-Якоби. Необходимое условие ограниченности взаимных расстояний 90
§ 4.6. Движение системы несвободных N точек. Голономные связи. Конфигурационное многообразие системы. Возможные перемещения 92
§ 4.7. Идеальные связи. Уравнения Лагранжа первого рода. Вариационный принцип Д'Аламбера-Лагранжа 94
§ 4.8. Вывод общих теорем динамики из принципа Д'Аламбера-Лагранжа 95
§ 4.9. Уравнения Лагранжа второго рода 98
§ 4.10. Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода. Теорема Нетер 102
§ 4.11. Определение реакций связей с помощью уравнений Лагранжа второго рода 106
§ 4.12. Равновесие системы материальных точек. Принцип возможных перемещений. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия 108
Глава 5. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 114
§ 5.1. Движение свободного твердого тела. Поле реакций связей. Принцип Д'Аламбера-Лагранжа. Уравнения движения 114
§ 5.2. Тензор инерции, моменты инерции, эллипсоид инерции твердого тела 118
§ 5.3. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Случай однородного силового поля 122
§ 5.4. Случай Эйлера: вращение твердого тела вокруг центра масс 124
§ 5.5. Геометрическая интерпретация Пуансо движения твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции. Устойчивость стационарных вращений. Регулярная прецессия 128
§ 5.6. Случай Лагранжа движения симметричного твердого тела 130
§ 5.7. Вырожденные случаи движения тяжелого симметричного тела: регулярная прецессия. Вращение вокруг вертикали, асимптотические движения 134
§ 5.8. Приближенное исследование движения тела в случае Лагранжа, псевдорегулярная прецессия 136
§ 5.9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций 137
§ 5.10. Физический маятник. Теорема Гюйгенса 140
Глава 6. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 143
§ 6.1. Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы 143
§ 6.2. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского в конфигурационном и фазовом пространствах 147
§ 6.3. Принцип наименьшего действия Лагранжа 150
§ 6.4. Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Уравнения Якоби 152
§ 6.5. Оптико-механическая аналогия 154
§ 6.6. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана. Условие гамильтоновости фазового потока 156
§ 6.7. Понижение порядка канонических уравнений с помощью интеграла энергии. Уравнения Уиттекера 160
§ 6.8. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема 162
§ 6.9. Теорема Пуанкаре о возвращении 164
§ 6.10. Канонические преобразования. Производящая функция канонического преобразования 166
§ 6.11. Критерий каноничности преобразования. Бесконечно малые канонические преобразования 169
§ 6.12. Функция действия и ее свойства 171
§ 6.13. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби 173
§ 6.14. Отыскание полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных 174
§ 6.15. Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Пуассона 179
§ 6.16. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых гамильтоновых системах 181
§ 6.17. Переменные действие-угол 184
§ 6.18. Метод вариации произвольных постоянных в теории возмущений 188
§ 6.19. Уравнения возмущенного движения в переменных действие-угол и метод усреднения. Эволюция переменной действие в задаче Ван дер Поля 189
§ 6.20. Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения движения голономных систем в форме Аппеля 193
§ 6.21. Неголономные связи. Уравнения Рауса с неопределенными множителями 196
§ 6.22. Уравнения Аппеля для неголономных систем. Задача о движении конька 199
Глава 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 204
§ 7.1. Малые колебания системы около положения равновесия. Нормальные координаты. Свойства собственных частот 204
§ 7.2. Поведение собственных частот при изменении жесткостных или инерционных характеристик 209
§ 7.3. Поведение собственных частот при наложении связи 211
§ 7.4. Вынужденные колебания системы около положения равновесия 213
§ 7.5. Влияние диссипативных сил на малые колебания и устойчивость положения равновесия 214
Глава 8. ТЕОРИЯ УДАРА 216
§ 8.1. Ударный импульс. Основные уравнения и теоремы теории удара 216
§ 8.2. Удар в системе с идеальными голономными связями 219
§ 8.3. Удар твердого тела о поверхность 221
§ 8.4. Удар двух тел. Теорема Карно 224
§ 8.5. Удар при наложении идеальных голономных связей 226
§ 8.6. Удар по телу, вращающемуся вокруг оси. Центр удара 229
Глава 9. ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 231
§ 9.1. Модель упругого тела. Деформированное состояние упругого тела 231
§ 9.2. Малые деформации. Функционал потенциальной энергии малых деформаций 234
§ 9.3. Уравнения движения упругого тела. Тензор напряжений 236
§ 9.4. Продольные колебания упругого стержня 240
§ 9.5. Колебания струны и балки 243
§ 9.6. Собственные колебания упругих тел 247
§ 9.7. Волны в упругой среде 250
Глава 10. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 252
§ 10.1. Вариационный принцип Д'Аламбера-Лагранжа в задаче о движении идеальной несжимаемой жидкости. Поле реакций связей. Уравнение Эйлера 252
§ 10.2. Уравнения движения идеальной баротропной сжимаемой жидкости или газа 256
§ 10.3. Интегралы Бернулли, Коши и Бернулли-Эйлера 260
§ 10.4. Вихревые движения идеальной баротропной жидкости. Теорема Томсона и ее следствия 263
§ 10.5. Вихревые линии и трубки. Теоремы Гельмгольца 266
§ 10.6 Диссипация энергии при движении жидкости. Уравнение Навье-Стокса 268
Литература 274
Приложение 1. Обобщенные решения уравнений движения механических систем 276
Приложение 2. Динамика гибкой нерастяжимой нити 283
Приложение 3. Метод разделения движений и усреднения 290