МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 513.73 ББК 22.151 М 71

Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 304 с. — ISBN 5-9221-0442-Х.

   Книга представляет собой краткую версию курса дифференциальной геометрии, читаемого в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.
   Для математиков и физиков, студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.
ISBN 5-9221-0442-Х
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
© А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию 7
1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры 7
1.1.1. Мотивировка 7
1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты 9
1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат 14
1.2. Длина кривой в криволинейных координатах 17
1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах 17
1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах 19
1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства 23
1.2.4. Индефинитные метрики 25
1.3. Геометрия на сфере, плоскости 28
1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского 34
Глава 2. Общая топология 48
2.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств 48
2.1.1. Метрические пространства 48
2.1.2. Топологические пространства 50
2.1.3. Непрерывные отображения 52
2.1.4. Фактортопология 54
2.2. Связность. Аксиомы отделимости 56
2.2.1. Связность 56
2.2.2. Аксиомы отделимости 58
2.3. Компактные пространства 60
2.3.1. Компактные пространства 60
2.3.2. Свойства компактных пространств 61
2.3.3. Метрические компактные пространства 62
2.3.4. Операции над компактными пространствами 62
2.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы 63
2.4.1. Функциональная отделимость 64
2.4.2. Разбиение единицы 66
Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория) 68
3.1. Понятие многообразия 70
3.1.1. Основные определения 70
3.1.2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия 73
3.1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм 77
3.2. Задание многообразий уравнениями 80
3.3. Касательные векторы. Касательное пространство 85
3.3.1. Простейшие примеры 85
3.3.2. Общее определение касательного вектора 88
3.3.3. Касательное пространство Тро(М) 89
3.3.4. Производная функции по направлению 90
3.3.5. Касательное расслоение 93
3.4. Подмногообразия 95
3.4.1. Дифференциал гладкого отображения 95
3.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал 98
3.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство 100
3.4.4. Риманова метрика на многообразии 102
3.4.5. Теорема Сарда 104
Глава 4. Гладкие многообразия (примеры) 109
4.1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве 109
4.1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе 109
4.1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френе 114
4.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы 119
4.2.1. Первая квадратичная форма 119
4.2.2. Вторая квадратичная форма 122
4.2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности 126
4.2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей 131
4.3. Группы преобразований 140
4.3.1. Простейшие примеры групп преобразований 140
4.3.2. Матричные группы преобразований 151
4.3.3. Полная линейная группа 152
4.3.4. Специальная линейная группа 152
4.3.5. Ортогональная группа 153
4.3.6. Унитарная группа и специальная унитарная группа 154
4.3.7. Симплектическая некомпактная и симплектическая компактная группы 157
4.4. Динамические системы 161
4.5. Классификация двумерных поверхностей 171
4.5.1. Многообразия с краем 171
4.5.2. Ориентируемые многообразия 173
4.5.3. Классификация двумерных многообразий 175
4.6. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций 186
Глава 5. Тензорный анализ и риманова геометрия 197
5.1. Общее понятие тензорного поля на многообразии 197
5.2. Простейшие примеры тензорных полей 202
5.2.1. Примеры 202
5.2.2. Алгебраические операции над тензорами 205
5.2.3. Кососимметричные тензоры 208
5.3. Связность и ковариантное дифференцирование 215
5.3.1. Определение и свойства аффинной связности 215
5.3.2. Римановы связности 222
5.4. Параллельный перенос. Геодезические 224
5.4.1. Предварительные замечания 224
5.4.2. Уравнение параллельного переноса 226
5.4.3. Геодезические 228
5.5. Тензор кривизны 237
5.5.1. Предварительные замечания 237
5.5.2. Координатное определение тензора кривизны 238
5.5.3. Инвариантное определение тензора кривизны 239
5.5.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана 240
5.5.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана 243
Глава 6. Теория гомологии 246
6.1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии 247
6.1.1. Дифференцирование внешних дифференциальных форм 247
6.1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де Рама) 252
6.1.3. Гомотопические свойства групп когомологии 255
6.2. Интегрирование внешних форм 260
6.2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию 260
6.2.2. Формула Стокса 261
6.3. Степень отображения и ее приложения 266
6.3.1. Степень отображения 266
6.3.2. Основная теорема алгебры 267
6.3.3. Интегрирование форм 268
6.3.4. Гауссово отображение гиперповерхности 269
Глава 7. Простейшие вариационные задачи римановой геометрии 271
7.1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера 271
7.2. Экстремальность геодезических 277
7.3. Минимальные поверхности 281
7.4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия 284