МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 517 ББК 22.193 К72
Федеральная целевая программа «Культура России»
(подпрограмма «Поддержка полиграфии и книгоиздания России»)

К 72
Костомаров Д.П., Фаворский А.П.
Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие.
- М.: Логос, 2004.-184 с.: ил. ISBN 5-94010-286-7

Рассматриваются прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, численные методы решения задач математического анализа: решение уравнений, приближение функций и численное интегрирование. Приводится численное решение задачи Коши и краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается обоснование сходимости методов, исследуется оценка погрешности. Особое внимание обращено на алгоритмические аспекты и организацию вычислительного процесса на ЭВМ. Изложение теоретического материала иллюстрируется задачами с результатами расчетов.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и специальности «Прикладная математика и информатика». Может использоваться в учебном процессе со студентами естественно-научных и технических специальностей, получающими углубленную подготовку в области математики и информатики.

ББК 22.193
ISBN 5-94010-286-7
© Костомаров Д.П., Фаворский А.П., 2004
© «Логос», 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений 8
1.1. Прямые методы решения СЛАУ 9
1.1.1. Формулы Крамера 9
1.1.2. Метод Гаусса 10
1.1.3. Системы с диагональным преобладанием 16
1.1.4. Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки 18
1.2. Обусловленность СЛАУ 21
1.2.1. Норма матрицы 22
1.2.2. Корректность решения СЛАУ 23
1.2.3. Число обусловленности матрицы 24
1.2.4. Оценка числа обусловленности 28
1.3. Итерационные методы 30
1.3.1. Построение итерационных последовательностей 30
1.3.2. Проблема сходимости итерационного процесса 32
1.3.3. Достаточные условия сходимости итерационного процесса 36
1.3.4. Метод простой итерации 39
1.3.5. Неявные итерационные методы. Метод Зейделя 47
1.3.6. Метод верхней релаксации 49
Глава 2. Численное решение уравнений 53
2.1. Метод вилки. Теорема о существовании корня непрерывной функции 53
2.2. Метод итераций (метод последовательных приближений) 59
2.3. Метод касательных (метод Ньютона) 64
2.4. Заключительные замечания 70
Глава 3. Приближение функций 71
3.1. Интерполирование 72
3.1.1. Классическая постановка задачи интерполирования 72
3.1.2. Интерполирование полиномами 73
3.1.3. Построение интерполяционного полинома в форме Лагранжа 75
3.1.4. Интерполяционный полином в форме Ньютона 77
3.1.5. Погрешность интерполирования 80
3.1.6. О сходимости интерполяционного процесса 84
3.1.7. Интерполяционный полином Эрмита 85
3.2. Интерполирование сплайнами 92
3.2.1. Определение кубического сплайна 92
3.2.2. Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна 93
3.2.3. Редукция системы 95
3.2.4. Замечание о решении системы 96
3.2.5. Сходимость и точность интерполирования сплайнами 98
3.3. Метод наименьших квадратов 100
Глава 4. Численное интегрирование 107
4.1. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование 107
4.2. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона 109
4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их особенности 109
4.2.2. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона 115
4.2.3. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании 124
4.3. Квадратурные формулы Гаусса 129
4.3.1. Задача построения оптимальных квадратурных формул 129
4.3.2. Полиномы Лежандра 131
4.3.3. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса 134
4.3.4. Исследование квадратурной формулы 135
4.4. Построение первообразной с помощью численного интегрирования 139
Глава 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 143
5.1. Разностная аппроксимация производных 143
5.1.1. Сеточные функции 143
5.1.2. Разностная аппроксимация первой производной 144
5.1.3. Разностная аппроксимация второй производной 148
5.2. Численное решение задачи Коши 150
5.2.1. Метод Эйлера 151
5.2.2. Повышение точности разностного метода 158
5.2.3. Метод Рунге-Кутта 159
5.2.4. Метод Адамса 168
5.3. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка 175
Предметный указатель 181
Именной указатель 183
Литература 184