МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 512 (075.8) ББК 22.143 К 71
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 3-е изд.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.
Алгебраические структуры, известные из первых двух частей учебника (группы, кольца, модули), изучаются на несколько более высоком уровне. Идеи и результаты теории представлений, подкрепленные многочисленными примерами, придают всему изложению общематематическое звучание. Особое место занимают конечно порожденные абелевы группы, теоремы Силова, представления и характеры конечных групп, алгебры над классическими полями. Имеются теоретико-числовые приложения. В заключительной главе изложены основы теории Галуа.
Второе издание — 2001 г.
Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике.
Ил. 6.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004
© А. И. Кострикин, 2000, 2001
ISBN 5-9221-0489-6

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
§ 1. Классические группы малых размерностей 9
1. Общие определения 9
2. Параметризация групп SU(2), SO(3) 10
3. Эпиморфизм SU(2) —> SO(3) 12
4. Геометрическое изображение группы SO(3) 14
5. Кватернионы 14
Упражнения 18
§ 2. Смежные классы по подгруппе 19
1. Элементарные свойства 19
2. Строение циклических групп 22
Упражнения 23
§ 3. Действие групп на множествах 23
1. Гомоморфизмы G —> S(O) 23
2. Орбиты и стационарные подгруппы точек 24
3. Примеры действий групп на множествах 26
4. Однородные пространства 30
Упражнения 31
§ 4. Факторгруппы и гомоморфизмы 32
1. Понятие о факторгруппе 32
2. Теоремы о гомоморфизмах групп 33
3. Коммутант 37
4. Произведения групп 39
5. Образующие и определяющие соотношения 41
Упражнения (45). 45
ГЛАВА 2. СТРОЕНИЕ ГРУПП
§ 1. Разрешимые и простые группы 48
1. Разрешимые группы 48
2. Простые группы 50
Упражнения 54
§ 2. Теоремы Силова 54
Упражнения 59
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 60
1. Примеры и предварительные результаты 60
2. Абелевы группы без кручения 61
3. Свободные абелевы группы конечного ранга 64
4. Строение конечно порождённых абелевых групп 66
5. Другие подходы к проблеме классификации 67
6. Основная теорема о конечных абелевых группах 71
Упражнения 74
§ 4. Линейные группы Ли 74
1. Определения и примеры 74
2. Кривые в матричных группах 76
3. Дифференциал гомоморфизма 78
4. Алгебра Ли группы Ли 79
5. Логарифм 81
Упражнения 82
ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 1. Определения и примеры линейных представлений 86
1. Основные понятия 86
2. Примеры линейных представлений 91
Упражнения 95
§ 2. Унитарность и приводимость 96
1. Унитарные представления 96
2. Полная приводимость 99
Упражнения 102
§ 3. Конечные группы вращений 102
1. Порядки конечных подгрупп в SO(3) 103
2. Группы правильных многогранников 105
Упражнения 108
§ 4. Характеры линейных представлении 109
1. Лемма Шура и её следствие 109
2. Характеры представлений 111
Упражнения 116
§ 5. Неприводимые представления конечных групп 117
1. Число неприводимых представлений 117
2. Степени неприводимых представлений 119
3. Представления абелевых групп 121
4. Представления некоторых специальных групп 123
Упражнения 125
§ 6. Представления групп SU(2) и SO(3) 127
Упражнения 130
§ 7. Тензорное произведение представлений 131
1. Контрагредиентное представление 131
2. Тензорное произведение представлений 132
3. Кольцо характеров 133
4. Инварианты линейных групп 136
Упражнения 140
ГЛАВА 4. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции 142
1. Идеалы колец и факторкольца 142
2. Поле разложения многочлена 144
3. Теоремы об изоморфизме колец 147
Упражнения 149
§ 2. Отдельные результаты о кольцах 150
1. Целые гауссовы числа 150
2. Каноническое разложение суммы двух квадратов 152
3. Полиномиальные расширения факториальных колец 153
4. Строение мультипликативной группы U(Zn) 154
Упражнения 158
§ 3. Модули 159
1. Первоначальные сведения о модулях 159
2. Свободные модули 163
3. Целые элементы кольца 166
Упражнения 167
§ 4. Алгебры над полем 168
1. Определения и примеры алгебр 168
2. Алгебры с делением (тела) 170
3. Групповые алгебры и модули над ними 174
Упражнения 183
§ 5. Неприводимые модули над алгеброй Ли sl(z) 184
1. Исходный материал 184
2. Веса и кратности 186
3. Старший вектор 186
4. Классификационный результат 187
Упражнения 188
ГЛАВА 5. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГАЛУА
§ 1. Конечные расширения полей 190
1. Примитивные элементы и степени расширений 190
2. Изоморфизм полей разложения 194
3. Существование примитивного элемента 196
Упражнения 198
§ 2. Конечные поля 198
1. Существование и единственность 198
2. Под поля и автоморфизмы конечного поля 200
3. Формула обращения Мёбиуса и её применения 201
Упражнения 206
§ 3. Соответствие Галуа 207
1. Предварительные результаты 207
2. Фундаментальное соответствие Галуа 210
3. Иллюстрации к соответствию Галуа 211
Упражнения 215
§ 4. Вычисление группы Галуа 215
1. Действие группы Gal(f) на корнях многочлена f 215
2. Многочлены и группы простой степени 217
3. Метод приведения по модулю р 219
4. Нормальный базис 224
Упражнения 227
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы 228
1. Простые числа в арифметической прогрессии 228
2. Расширения с абелевой группой Галуа 229
3. Норма и след 230
4. Циклические расширения 233
5. Критерий разрешимости уравнений в радикалах 235
Упражнения 238
§ 6. Жёсткость и рациональность в конечных группах 238
1. Определения и формулировка основной теоремы 239
2. Подсчёт решений 240
3. Примеры жёсткости 243
Упражнения 245
§ 7. Эпилог 245
ПРИЛОЖЕНИЕ. НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
1. Классификация конечных простых групп 248
2. Регулярный автоморфизм 249
3. Странная алгебра Ли 249
4. Проблема Бернсайда 249
5. Конечные группы полиномиальных автоморфизмов 250
6. Просто приводимые группы 250
7. Обратная задача Галуа 251
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 254
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 263
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 268