МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 512 (075.8) ББК 22.143 К 71
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 368 с. — ISBN 5-9221-0488-8.
Наиболее важные разделы линейной алгебры изложены в максимально доступной форме. На первый план выдвигаются простые геометрические понятия, на базе которых идет всестороннее развитие алгебраического аппарата, введенного в части I. Указаны приложения к разным вопросам анализа, теории линейных групп, алгебр Ли, математической экономики, дифференциальных уравнений, геометрии Лобачевского.
Второе издание — 2001 г.
Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике.
Ил. 31.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004
© А. И. Кострикин, 2000, 2001
ISBN 5-9221-0488-8

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 8
ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВА И ФОРМЫ
§ 1. Абстрактные векторные пространства 11
1. Мотивировка и аксиоматизация 11
2. Линейные оболочки. Подпространства 13
3. Замечания о геометрической интерпретации 16
Упражнения 18
§ 2. Размерность и базис 18
1. Линейная зависимость 18
2. Размерность векторного пространства и его базис 20
3. Координаты. Изоморфизм пространств 22
4. Пересечение и сумма подпространств 26
5. Прямые суммы 28
6. Факторпространства 30
Упражнения 32
§ 3. Двойственное пространство 33
1. Линейные функции 33
2. Двойственное пространство и двойственный базис 34
3. Рефлексивность 36
4. Критерий линейной независимости 37
5. Геометрическая интерпретация решений ЛОС 38
Упражнения 39
§ 4. Билинейные и квадратичные формы 40
1. Полилинейные отображения 40
2. Билинейные формы 41
3. Закон изменения матрицы билинейной формы 42
4. Симметричные и кососимметричные формы 43
5. Квадратичные формы 45
6. Канонический вид квадратичной формы 46
7. Вещественные квадратичные формы 49
8. Положительно определённые формы и матрицы 50
9. Канонический вид кососимметричной формы 54
10. Пфаффиан 57
Упражнения 58
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Линейные отображения векторных пространств 60
1. Язык линейных отображений 60
2. Задание линейных отображений матрицами 61
3. Размерность ядра и образа 63
Упражнения 64
§ 2. Алгебра линейных операторов 64
1. Определения и примеры 64
2. Алгебра операторов 66
3. Матрицы линейного оператора в различных базисах 69
4. Определитель и след линейного оператора 71
Упражнения 73
§ 3. Инвариантные подпространства и собственные векторы 74
1. Проекторы 74
2. Инвариантные подпространства 75
3. Собственные векторы. Характеристический многочлен 77
4. Критерий диатонализируемости 79
5. Существование инвариантных подпространств 82
6. Сопряжённый линейный оператор 82
7. Фактороператор 84
Упражнения 85
§ 4. Жорданова нормальная форма 86
1. Теорема Гамильтона-Кэли 86
2. ЖНФ: формулировка и следствие 89
3. Корневые подпространства 90
4. Случай нильпотентного оператора 92
5. Единственность 94
6. Другие подходы к ЖНФ 96
7. Другие нормальные формы 99
Упражнения 100
ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
§ 1. Евклидовы векторные пространства 103
1. Эвристические соображения и определения 103
2. Основные метрические понятия 105
3. Процесс ортогонализации 107
4. Изоморфизмы евклидовых векторных пространств 110
5. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы 112
6. Симплектические пространства 113
Упражнения 116
§ 2. Эрмитовы векторные пространства 117
1. Эрмитовы формы 117
2. Метрические соотношения 119
3. Ортогональность 120
4. Унитарные матрицы 122
5. Нормированные векторные пространства 123
Упражнения 125
§ 3. Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением 126
1. Связь между линейными операторами и 0-линейными формами 126
2. Типы линейных операторов 128
3. Канонический вид эрмитовых операторов 131
4. Приведение квадратичной формы к главным осям 133
5. Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду 135
6. Канонический вид изометрий 136
7. Нормальные операторы 139
8. Положительно определённые операторы 143
9. Полярное разложение 144
Упражнения 146
§ 4. Комплексификация и овеществление 147
1. Комплексная структура 147
2. Овеществление 149
3. Комплексификация 151
4. Комплексификация — овеществление — Комплексификация 153
Упражнения 155
§ 5. Ортогональные многочлены 156
1. Проблема аппроксимации 156
2. Метод наименьших квадратов 157
3. Линейные системы и метод наименьших квадратов 159
4. Тригонометрические многочлены 161
5. Замечание о самосопряжённых операторах 162
6. Многочлены Лежандра (сферические многочлены) 164
7. Ортогонализация с весом 168
8. Многочлены Чебышева (первого рода) 169
9. Многочлены Эрмита 170
Упражнения 171
ГЛАВА 4. АФФИННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные пространства 173
1. Определение аффинного пространства 173
2. Изоморфизм 175
3. Координаты 176
4. Аффинные подпространства 177
5. Барицентрические координаты 180
6. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений 183
7. Взаимное расположение плоскостей 185
Упражнения 186
§ 2. Евклидовы (точечные) пространства 187
1. Евклидова метрика 187
2. Расстояние от точки до плоскости 188
3. Расстояние между плоскостями 190
4. Определитель Грама и объём параллелепипеда 191
Упражнения 192
§ 3. Группы и геометрии 193
1. Аффинная группа 193
2. Движения евклидова пространства 196
3. Группа изометрий 198
4. Линейная геометрия, отвечающая группе 201
5. Аффинные преобразования евклидова пространства 204
6. Выпуклые множества 206
Упражнения 208
§ 4. Пространства с индефинитной метрикой 208
1. Индефинитная метрика 208
2. Псевдоевклидовы движения 209
3. Группа Лоренца 210
4. Собственная группа Лоренца 212
Упражнения 216
ГЛАВА 5. КВАДРИКИ
§ 1. Квадратичные функции 217
1. Квадратичные функции на аффинном пространстве 217
2. Центральные точки для квадратичной функции 218
3. Приведение квадратичной функции к каноническому виду 220
4. Квадратичные функции на евклидовом пространстве 222
Упражнения 224
§ 2. Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах 224
1. Общее понятие квадрики 224
2. Центр квадрики 227
3. Канонические типы квадрик в аффинном пространстве 228
4. Общие замечания о типах квадрик 230
5. Квадрики в евклидовом пространстве 232
Упражнения 235
§ 3. Проективные пространства 236
1. Модели проективной плоскости 236
2. Проективное пространство произвольной размерности 239
3. Однородные координаты 240
4. Аффинные карты 241
5. Понятие алгебраического многообразия 243
6. Проективная группа 244
7. Проективная геометрия 247
8. Двойное отношение 249
9. Выражения двойного отношения в координатах 251
Упражнения 253
§ 4. Квадрики в проективном пространстве 254
1. Классификация 254
2. Примеры и изображения проективных квадрик 255
3. Пересечение прямой с проективной квадрикой 257
4. Общие замечания о проективных квадриках 258
Упражнения 259
ГЛАВА 6. ТЕНЗОРЫ
§ 1. Начала тензорного исчисления 260
1. Понятие о тензорах 260
2. Произведение тензоров 261
3. Координаты тензора. 263
4. Тензоры в разных системах координат 266
5. Тензорное произведение пространств 268
Упражнения 271
§ 2. Свёртка, симметризация и альтернирование тензоров 272
1. Свёртка тензора 272
2. Структурный тензор алгебры 274
3. Симметричные тензоры 277
4. Кососимметричные тензоры 281
5. Тензорные пространства 283
Упражнения 284
§ 3. Внешняя алгебра 285
1. Внешнее умножение 285
2. Внешняя алгебра векторного пространства 286
3. Связь с определителями 290
4. Векторные подпространства и р-векторы 292
5. Условия разложимости р-векторов 293
Упражнения 296
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Норма и функции линейного оператора 298
1. Норма линейного оператора 298
2. Функции линейных операторов (матриц) 301
3. Экспонента 302
4. Однопараметрические подгруппы линейной группы 305
5. Спектральный радиус 309
Упражнения 311
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения 312
1. Производная экспоненты 312
2. Дифференциальные уравнения 313
3. Линейное дифференциальное уравнение порядка n 314
§ 3. Выпуклые многогранники и линейное программирование 315
1. Формулировка задачи 315
2. Мотивировка 315
3. Основные геометрические понятия 318
Упражнения 320
§ 4. Неотрицательные матрицы 321
1. Производственная мотивировка 321
2. Свойства неотрицательных матриц 322
3. Стохастические матрицы 323
§ 5. Геометрия Лобачевского 327
1. Пространство Лобачевского 327
2. Движения пространства Лобачевского 329
3. Метрика Лобачевского 331
4. Плоскость Лобачевского 334
§ 6. Нерешённые задачи 339
1. Проблема Штрассена 339
2. Ортогональные разложения 340
3. Конечные проективные плоскости 341
4. Базисы пространств и латинские квадраты 342
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 344
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 359
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 362