МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 512 (075.8) ББК 22.143 К 71
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.
Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория матриц, теория определителей, простейшие свойства групп, колец и полей, комплексные числа и корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности. Специальный раздел посвящен обсуждению некоторых нерешенных задач о многочленах.
Второе издание — 2001 г.
Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике.
Ил. 28.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004
© А. И. Кострикин, 2000, 2001
ISBN 5-9221-0487-Х

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ 10
ГЛАВА 1. ИСТОКИ АЛГЕБРЫ
§ 1. Алгебра вкратце 12
§ 2. Некоторые модельные задачи 15
1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах 15
2. Задача о состояниях многоатомной молекулы 17
3. Задача о кодировании сообщения 18
4. Задача о нагретой пластинке 18
§ 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги 19
1. Терминология 20
2. Эквивалентность линейных систем 21
3. Приведение к ступенчатому виду 23
4. Исследование системы линейных уравнений 24
5. Отдельные замечания и примеры 26
§ 4. Определители небольших порядков 29
Упражнения 33
§ 5. Множества и отображения 33
1. Множества 33
2. Отображения 35
Упражнения 40
§ 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений 41
1. Бинарные отношения 41
2. Отношение эквивалентности 41
3. Факторизация отображений 42
4. Упорядоченные множества 44
Упражнения 45
§ 7. Принцип математической индукции 46
Упражнения 50
§ 8. Перестановки 50
1. Стандартная запись перестановки 50
2. Цикловая структура перестановки 52
3. Знак перестановки 56
4. Действие Sn на функциях 58
Упражнения 60
§ 9. Арифметика целых чисел 61
1. Основная теорема арифметики 61
2. ПОД и НОК в Z 63
3. Алгоритм деления в Z 63
Упражнения 64
ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ
§ 1. Векторные пространства строк и столбцов 65
1. Мотивировка 65
2. Основные определения 66
3. Линейные комбинации. Линейная оболочка 67
4. Линейная зависимость 68
5. Базис. Размерность 69
Упражнения 72
§ 2. Ранг матрицы 72
1. Возвращение к уравнениям 72
2. Ранг матрицы 74
3. Критерий совместности 76
Упражнения 77
§ 3. Линейные отображения. Действия с матрицами 78
1. Матрицы и отображения 78
2. Произведение матриц 81
3. Транспонирование матриц 83
4. Ранг произведения матриц 84
5. Квадратные матрицы 86
6. Классы эквивалентных матриц 91
7. Вычисление обратной матрицы 93
8. Пространство решений 96
Упражнения 98
ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Определители: построение и основные свойства 102
1. Геометрическая мотивировка 102
2. Комбинаторно-аналитический подход 104
3. Основные свойства определителей 105
Упражнения 112
§ 2. Дальнейшие свойства определителей 113
1. Разложение определителя по элементам столбца или строки 113
2. Определители специальных матриц 116
Упражнения 119
§ 3. Применения определителей 121
1. Критерий невырожденности матрицы 121
2. Формулы Крамера 123
3. Метод окаймляющих миноров 125
Упражнения 128
§ 4. К построению теории определителей 130
1. Первое аксиоматическое построение 130
2. Второе аксиоматическое построение 131
3. Построение методом полной индукции 131
4. Характеризация мультипликативными свойствами 131
Упражнения 133
ГЛАВА 4. ГРУППЫ. КОЛЬЦА. ПОЛЯ
§ 1. Множества с алгебраическими операциями 134
1. Бинарные операции 134
2. Полугруппы и моноиды 135
3. Обобщённая ассоциативность; степени 136
4. Обратимые элементы 138
Упражнения 139
§ 2. Группы 139
1. Определение и примеры 139
2. Циклические группы 142
3. Изоморфизмы 143
4. Гомоморфизмы 147
5. Словарик. Примеры 148
Упражнения 149
§ 3. Кольца и поля 151
1. Определение и общие свойства колец 151
2. Сравнения. Кольцо классов вычетов 155
3. Гомоморфизмы колец 156
4. Типы колец. Поле 157
5. Характеристика поля 161
6. Замечание о линейных системах 163
Упражнения 165
ГЛАВА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Поле комплексных чисел 167
1. Вспомогательная конструкция 167
2. Плоскость комплексных чисел 168
3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами 169
4. Возведение в степень и извлечение корня 173
5. Теорема единственности 175
6. Элементарная геометрия комплексных чисел 176
Упражнения 179
§ 2. Кольцо многочленов 180
1. Многочлены от одной переменной 181
2. Многочлены от многих переменных 185
3. Алгоритм деления с остатком 187
Упражнения 188
§ 3. Разложение в кольце многочленов 190
1. Элементарные свойства делимости 190
2. ПОД и НОК в кольцах 192
3. Факториальность евклидовых колец 194
4. Неприводимые многочлены 197
Упражнения 200
§ 4. Поле отношений 201
1. Построение поля отношений целостного кольца 201
2. Поле рациональных дробей 203
3. Простейшие дроби 204
Упражнения 207
ГЛАВА 6. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 1. Общие свойства корней 208
1. Корни и линейные множители 208
2. Полиномиальные функции 210
3. Дифференцирования кольца многочленов 212
4. Кратные множители 214
5. Формулы Виета 216
Упражнения 218
§ 2. Симметрические многочлены 220
1. Кольцо симметрических многочленов 220
2. Основная теорема о симметрических многочленах 221
3. Метод неопределённых коэффициентов 224
4. Дискриминант многочлена 226
5. Результант 228
Упражнения 231
§ 3. Алгебраическая замкнутость поля С 232
1. Формулировка основной теоремы 232
2. Доказательство основной теоремы 234
3. Ещё одно доказательство основной теоремы 237
§ 4. Многочлены с вещественными коэффициентами 241
1. Разложение на неприводимые множители в М[Х] 241
2. Простейшие дроби над С и R 242
3. Проблема локализации корней многочлена 244
4. Вещественные многочлены с вещественными корнями 249
5. Устойчивые многочлены 251
6. Зависимость корней многочлена от коэффициентов 252
7. Вычисление корней многочлена 254
8. Рациональные корни целочисленных многочленов 255
Упражнения 257
ПРИЛОЖЕНИЕ. НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГОЧЛЕНАХ
1. Проблема якобиана 259
2. Задача о дискриминанте 261
3. Задача о двух порождающих кольца многочленов 261
4. Задачи о критических точках и критических значениях 262
5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона 263
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 266