МГУ. Серия "КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК"

УДК 513 ББК 22.151 С23
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор А.В. Зарелиа, доктор физико-математических наук, профессор А.В. Чернавский
Составители:
Л.А. Алания, С.M. Гусейн-Заде, И.А. Дынников, В.М. Мануйлов, Д.В. Миллионщиков, А.С. Мищенко, Е.А. Морозова, Т.Е. Панов, М.М. Постников, Е.Г. Скляренко, Е.В. Троицкий

С23
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Под ред. Ю.М. Смирнова. — Изд. 2-е, перераб. и доп.
— М.: Логос, 2005. - 376 с.: ил. ISBN 5-94010-375-8
Представлены задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре. Теоретические задачи, как правило, сопровождаются упражнениями различной трудности, способствующими самостоятельной проверке обучаемыми степени понимания ими новых определений и алгоритмов. По сравнению с первым изданием (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000) во втором содержится около 300 новых либо существенно переработанных задач, расширены теоретические справки, в ответах к отдельным задачам даны краткие пояснения.
Для студентов университетов и других высших учебных заведений, получающих образование по математическим направлениям и специальностям.
ББК 22.151

ISBN 5-94010-375-8
© Составители, указанные на обороте титульного листа, 2000
© «Логос», 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к серии 1
Предисловие ко второму изданию 10
Предисловие к первому изданию 10
Часть I. Аналитическая геометрия
Глава 1. Системы координат на плоскости и в пространстве 13
§ 1.1. Системы координат: первые задачи 13
§ 1.2. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат 17
§ 1.3. Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат 20
§ 1.4. Скалярное произведение 23
§ 1.5. Ориентация, векторное и смешанное произведения 26
§ 1.6. Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат 33
Глава 2. Геометрические места точек, составление уравнений кривых на плоскости 36
§ 2.1. Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства 36
§ 2.2. Составление уравнений кривых на плоскости 41
Глава 3. Прямые на плоскости 46
§ 3.1. Составление уравнения прямой по различным способам ее задания 46
§ 3.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых 48
§ 3.3. Линейные неравенства 51
§ 3.4. Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и расстояния 52
§ 3.5. Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной системе координат 56
Глава 4. Прямые и плоскости в пространстве 58
§ 4.1. Составление уравнений прямых и плоскостей 58
§ 4.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Связки прямых 62
§ 4.3. Линейные неравенства в пространстве 69
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве 70
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной системе координат 75
Глава 5. Аффинные и ортогональные замены координат 76
Глава 6. Кривые второго порядка 83
§ 6.1. Составление уравнений кривых второго порядка 85
§ 6.2. Нахождение вида и расположения линии второго порядка по уравнению 87
§ 6.3. Ортогональные инварианты линий второго порядка 90
§ 6.4. Аффинные типы линий второго порядка 92
§ 6.5. Касательные к линии второго порядка 93
§ 6.6. Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления линий второго порядка 97
§ 6.7. Пучки и связки линий второго порядка 101
Глава 7. Поверхности второго порядка 105
§ 7.1. Составление уравнений поверхностей 106
§ 7.2. Простейшие свойства поверхностей второго порядка 110
§ 7.3. Приведение поверхности к каноническому виду 112
§ 7.4. Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка 115
§ 7.5. Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные образующие 118
§ 7.6. Плоские сечения поверхностей второго порядка 125
Глава 8. Аффинные и изометрические преобразования 130
§ 8.1. Аффинные преобразования плоскости 131
§ 8.2. Аффинные преобразования пространства 134
§ 8.3. Аффинные преобразования и линии второго порядка 135
§ 8.4. Изометрические преобразования плоскости и пространства 138
Глава 9. Проективная геометрия 141
§ 9.1. Проективная прямая 141
§ 9.2. Проективные преобразования прямой 144
§ 9.3. Проективная плоскость 145
§ 9.4. Проективные преобразования плоскости 149
§ 9.5. Линии второго порядка в проективных координатах 151
§ 9.6. Поляритет 155
Часть II. Линейная алгебра
Глава 10. Основные понятия линейной алгебры 159
§ 10.1. Векторное пространство, линейная независимость 159
§ 10.2. Базис, размерность, координаты 163
§ 10.3. Линейные подпространства и операции над ними 166
§ 10.4. Линейные функции и отображения 171
§ 10.5. Аффинные пространства 175
Глава 11. Операторы в линейных пространствах 179
§ 11.1. Матрица линейного оператора 179
§ 11.2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства. Проекторы. Комплексификация и овеществление 182
§ 11.3. Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие многочлены 185
§ 11.4. Собственные значения, собственные векторы 189
§ 11.5. Жорданова нормальная форма линейных операторов 194
§ 11.6. Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового аргумента 198
§ 11.7. Нахождение инвариантных подпространств 200
Глава 12. Билинейные и квадратичные функции 202
§ 12.1. Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях 202
§ 12.2. Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции 203
§ 12.3. Приведение к каноническому виду 208
Глава 13. Пространства со скалярным произведением 211
§ 13.1. Элементарные свойства скалярного произведения 211
§ 13.2. Ортогональные системы векторов 216
§ 13.3. Матрица Грама. n-мерный объем 221
§ 13.4. Ортогональное дополнение 226
§ 13.5. Расстояния и углы 227
§ 13.6. Геометрия аффинных евклидовых пространств 230
§ 13.7. n-мерный куб и n-мерный симплекс 233
§ 13.8. Метод наименьших квадратов и интерполяция функций 235
Глава 14. Операторы в пространствах со скалярным произведением 240
§ 14.1. Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве 241
14.1.1. Сопряженный оператор 241
14.1.2. Самосопряженные операторы 244
14.1.3. Кососимметрические и косоэрмитовы операторы 250
14.1.4. Ортогональные и унитарные операторы. Группы преобразований 254
14.1.5. Полярное разложение 264
14.1.6. Нормальные операторы 265
14.1.7. Операторы в евклидовых пространствах и системы линейных уравнений 268
§ 14.2. Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением 273
14.2.1. Сопряженные операторы 273
14.2.2. Операторы, сохраняющие скалярное произведение (изометрические операторы) 274
14.2.3. Самосопряженные (симметрические, эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы 277
Глава 15. Квадратичные функции и поверхности второго порядка 280
§ 15.1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве 280
§ 15.2. Поверхности второго порядка 283
Глава 16. Тензоры 285
§ 16.1. Основные понятия 288
§ 16.2. Тензорные произведения пространств 289
§ 16.3. Симметрические и кососимметрические тензоры 292
§ 16.4. Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах 296
§ 16.5. Операция Ходжа и евклидова структура 299
Ответы и указания 301
Список литературы 371